Matematica discreta Esempi

$5 a = [\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 3 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 9 - 3 \cdot - 4$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $5$ per $- 9$ .

$- 45 - 3 \cdot - 4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$- 45 + 12$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 45$ e $12$ .

$- 33$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 33} [\begin{array}{c} - 9 & 4 \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{33} [\begin{array}{c} - 9 & 4 \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $- \frac{1}{33}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{33} \cdot - 9 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{33}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{33} \cdot - 9 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $3$ da $33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (11)} \cdot - 9 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.1.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 3) & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.1.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{11} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.2

$\frac{- 1}{11}$ e $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 3}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 4 \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- \frac{1}{33} \cdot 4$ .

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - 4 (\frac{1}{33}) \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.4.2

$- 4$ e $\frac{1}{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & \frac{- 4}{33} \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ - \frac{1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{33}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{33} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $3$ da $33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{3 (11)} \cdot - 3 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.6.4

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 11} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.6.5

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- 1}{11} \cdot - 1 & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.7

$\frac{- 1}{11}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{- - 1}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & - \frac{1}{33} \cdot 5 \end{array}]$

Passaggio 7.9

Moltiplica $- \frac{1}{33} \cdot 5$ .

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Passaggio 7.9.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & - 5 (\frac{1}{33}) \end{array}]$

Passaggio 7.9.2

$- 5$ e $\frac{1}{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & \frac{- 5}{33} \end{array}]$

Passaggio 7.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{11} & - \frac{4}{33} \\ \frac{1}{11} & - \frac{5}{33} \end{array}]$