Matematica discreta Esempi

$3 X = [\begin{array}{c} \frac{17}{22} & \frac{31}{110} \\ - \frac{4}{11} & \frac{16}{55} \end{array}]$

Passaggio 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{17}{22} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $22$ .

$\frac{17}{2 (11)} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{17}{11} \cdot \frac{8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $\frac{17}{11}$ per $\frac{8}{55}$ .

$\frac{17 \cdot 8}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $17$ per $8$ .

$\frac{136}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.4

Moltiplica $11$ per $55$ .

$\frac{136}{605} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{11}$ nel numeratore.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{136}{605} - (\frac{2 (- 2)}{11} \cdot \frac{31}{110})$

Passaggio 2.2.1.5.3

Scomponi $2$ da $110$ .

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Passaggio 2.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

Passaggio 2.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{136}{605} - (\frac{- 2}{11} \cdot \frac{31}{55})$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $\frac{- 2}{11}$ per $\frac{31}{55}$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 2 \cdot 31}{11 \cdot 55}$

Passaggio 2.2.1.7

Moltiplica $- 2$ per $31$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{11 \cdot 55}$

Passaggio 2.2.1.8

Moltiplica $11$ per $55$ .

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{605}$

Passaggio 2.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{136}{605} - - \frac{62}{605}$

Passaggio 2.2.1.10

Moltiplica $- - \frac{62}{605}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{136}{605} + 1 (\frac{62}{605})$

Passaggio 2.2.1.10.2

Moltiplica $\frac{62}{605}$ per $1$ .

$\frac{136}{605} + \frac{62}{605}$

Passaggio 2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{136 + 62}{605}$

Passaggio 2.2.3

Somma $136$ e $62$ .

$\frac{198}{605}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $198$ e $605$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $11$ da $198$ .

$\frac{11 (18)}{605}$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Scomponi $11$ da $605$ .

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{18}{55}$

Passaggio 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{18}{55}} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 (\frac{55}{18}) [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{55}{18}$ per $1$ .

$\frac{55}{18} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{55}{18}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $55$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{18} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (9)} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.2.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.2.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} \cdot 8 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{9}$ e $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $55$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{31}{110}$ nel numeratore.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{110} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.4.2

Scomponi $55$ da $110$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 (2)} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.4.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.4.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{1}{18} \cdot \frac{- 31}{2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.5

Moltiplica $\frac{1}{18}$ per $\frac{- 31}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{18 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.6

Moltiplica $18$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.8

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Scomponi $11$ da $55$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.8.2

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.8.3

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{18} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 (9)} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.9.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.9.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.9.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{9} \cdot 2 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.10

$\frac{5}{9}$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5 \cdot 2}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.11

Moltiplica $5$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.12

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.12.1

Scomponi $11$ da $55$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

Passaggio 8.12.2

Scomponi $11$ da $22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 8.12.3

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 8.12.4

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5}{18} \cdot \frac{17}{2} \end{array}]$

Passaggio 8.13

Moltiplica $\frac{5}{18}$ per $\frac{17}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5 \cdot 17}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 8.14

Moltiplica $5$ per $17$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{18 \cdot 2} \end{array}]$

Passaggio 8.15

Moltiplica $18$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{36} \end{array}]$