Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} p & \ln (e) \\ 4^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

Passaggio 1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 4^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

Passaggio 2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} & \sqrt{5} \end{array}]$

Passaggio 3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{2 (\frac{5}{2})} & \sqrt{5} \end{array}]$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{2 (\frac{5}{2})} & \sqrt{5} \end{array}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 2^{5} & \sqrt{5} \end{array}]$

Passaggio 5

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$[\begin{array}{c} p & 1 \\ 32 & \sqrt{5} \end{array}]$

Passaggio 6

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Passaggio 7

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p \sqrt{5} - 32 \cdot 1$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 32$ per $1$ .

$p \sqrt{5} - 32$

Passaggio 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{p \sqrt{5} - 32} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{1}{p \sqrt{5} - 32}$ per $\frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32}$ .

$\frac{1}{p \sqrt{5} - 32} \cdot \frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{p \sqrt{5} - 32}$ per $\frac{p \sqrt{5} + 32}{p \sqrt{5} + 32}$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{(p \sqrt{5} - 32) (p \sqrt{5} + 32)} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 12

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} {\sqrt{5}}^{2} + p \sqrt{5} \cdot 32 - 32 (p \sqrt{5}) - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 13.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 13.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5^{1} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 13.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{p^{2} \cdot 5 - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 13.2

Sposta $5$ alla sinistra di $p^{2}$ .

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} [\begin{array}{c} \sqrt{5} & - 1 \\ - 32 & p \end{array}]$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \sqrt{5} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ e $\sqrt{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{(p \sqrt{5} + 32) \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{p \sqrt{5} \sqrt{5} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.3

Moltiplica $p \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$[\begin{array}{c} \frac{p {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p {\sqrt{5}}^{2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.4.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 15.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5^{1} + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.4.1.5

Calcola l'esponente.

$[\begin{array}{c} \frac{p \cdot 5 + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.4.2

Sposta $5$ alla sinistra di $p$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 1 \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.5

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{(p \sqrt{5} + 32) \cdot - 1}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $p \sqrt{5} + 32$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & \frac{- 1 \cdot (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \cdot - 32 & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.8

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ e $- 32$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{(p \sqrt{5} + 32) \cdot - 32}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.9

Sposta $- 32$ alla sinistra di $p \sqrt{5} + 32$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ \frac{- 32 \cdot (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ - \frac{32 (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} p \end{array}]$

Passaggio 15.11

$\frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024}$ e $p$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 p + 32 \sqrt{5}}{5 p^{2} - 1024} & - \frac{p \sqrt{5} + 32}{5 p^{2} - 1024} \\ - \frac{32 (p \sqrt{5} + 32)}{5 p^{2} - 1024} & \frac{(p \sqrt{5} + 32) p}{5 p^{2} - 1024} \end{array}]$