Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 28 & 4 & 36 \\ 27 & - 3 & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 + 0 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 + 0 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $36$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 + 0 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $27$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 + 0 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $21$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 + 0 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $- 26$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 + 0 & - 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $10$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 28 - λ & 4 & 36 \\ 27 & - 3 - λ & 21 \\ - 26 & 10 & - 6 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (28 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 - λ & 21 \\ 10 & - 6 - λ \end{array} |$ .

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Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) ((- 3 - λ) (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.2.1.1

Espandi $(- 3 - λ) (- 6 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 (- 6 - λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ (- 6 - λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (- 3 \cdot - 6 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 - 3 (- λ) - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ - λ \cdot - 6 - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - λ (- λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + 1 λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 3 λ + 6 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Somma $3 λ$ e $6 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 10 \cdot 21) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (18 + 9 λ + λ^{2} - 210) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $210$ da $18$ .

$p (λ) = (28 - λ) (9 λ + λ^{2} - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.3

Riordina $9 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 | \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} | + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 27 & 21 \\ - 26 & - 6 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 (- 6 - λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (27 \cdot - 6 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $27$ per $- 6$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 + 27 (- λ) - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - (- 26 \cdot 21)) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.4

Moltiplica $- (- 26 \cdot 21)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 26$ per $21$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ - - 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 162 - 27 λ + 546) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $- 162$ e $546$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 | \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 27 & - 3 - λ \\ - 26 & 10 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (27 \cdot 10 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Moltiplica $27$ per $10$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 (- 3 - λ)))$

Passaggio 5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (- 26 \cdot - 3 - 26 (- λ)))$

Passaggio 5.4.2.1.3

Moltiplica $- 26$ per $- 3$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 - 26 (- λ)))$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 26$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - (78 + 26 λ))$

Passaggio 5.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 1 \cdot 78 - (26 λ))$

Passaggio 5.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $78$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - (26 λ))$

Passaggio 5.4.2.1.7

Moltiplica $26$ per $- 1$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (270 - 78 - 26 λ)$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $78$ da $270$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (192 - 26 λ)$

Passaggio 5.4.2.3

Riordina $192$ e $- 26 λ$ .

$p (λ) = (28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192) - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Espandi $(28 - λ) (λ^{2} + 9 λ - 192)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 28 (9 λ) + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Moltiplica $9$ per $28$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ + 28 \cdot - 192 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.2

Moltiplica $28$ per $- 192$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ \cdot λ^{2} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{2 + 1} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - λ (9 λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 1 \cdot 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} - λ \cdot - 192 - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.2.7

Moltiplica $- 192$ per $- 1$ .

$p (λ) = 28 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} - 9 λ^{2} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.3

Sottrai $9 λ^{2}$ da $28 λ^{2}$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 252 λ - 5376 - λ^{3} + 192 λ - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.4

Somma $252 λ$ e $192 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ + 384) + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} - 4 (- 27 λ) - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.6

Moltiplica $- 27$ per $- 4$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 4 \cdot 384 + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.7

Moltiplica $- 4$ per $384$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ + 192)$

Passaggio 5.5.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 + 36 (- 26 λ) + 36 \cdot 192$

Passaggio 5.5.1.9

Moltiplica $- 26$ per $36$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 36 \cdot 192$

Passaggio 5.5.1.10

Moltiplica $36$ per $192$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 444 λ - 5376 - λ^{3} + 108 λ - 1536 - 936 λ + 6912$

Passaggio 5.5.2

Somma $444 λ$ e $108 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} + 552 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 - 936 λ + 6912$

Passaggio 5.5.3

Sottrai $936 λ$ da $552 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - 5376 - λ^{3} - 1536 + 6912$

Passaggio 5.5.4

Sottrai $1536$ da $- 5376$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$

Passaggio 5.5.5

Combina i termini opposti in $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} - 6912 + 6912$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Somma $- 6912$ e $6912$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3} + 0$

Passaggio 5.5.5.2

Somma $19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$ e $0$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - 384 λ - λ^{3}$

Passaggio 5.5.6

Sposta $- 384 λ$ .

$p (λ) = 19 λ^{2} - λ^{3} - 384 λ$

Passaggio 5.5.7

Riordina $19 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3} + 19 λ^{2} - 384 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} + 19 λ^{2} - 384 λ = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $- λ$ da $19 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - 384 λ = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi $- λ$ da $- 384 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2}) - λ (- 19 λ)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ \cdot 384 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2} - 19 λ) - λ (384)$ .

$- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $λ$ uguale a $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 7.4

Imposta $λ^{2} - 19 λ + 384$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $λ^{2} - 19 λ + 384$ uguale a $0$ .

$λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $λ^{2} - 19 λ + 384 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 19$ e $c = 384$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 384)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.1

Eleva $- 19$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 384$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 384}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $384$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 1536}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.3

Sottrai $1536$ da $361$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1175}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 1175$ come $- 1 (1175)$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1175}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (1175)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}$ .

$λ = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{1175}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.7

Riscrivi $1175$ come $5^{2} \cdot 47$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.3.1.7.1

Scomponi $25$ da $1175$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{25 (47)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$λ = \frac{19 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 47}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$λ = \frac{19 \pm i \cdot (5 \sqrt{47})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{19 \pm 5 i \sqrt{47}}{2}$

Passaggio 7.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$

Passaggio 7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- λ (λ^{2} - 19 λ + 384) = 0$ vera.

$λ = 0, \frac{19 + 5 i \sqrt{47}}{2}, \frac{19 - 5 i \sqrt{47}}{2}$