Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

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Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

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Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.3.1

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 4 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Espandi $(1 - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- λ$ per $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.2.2

Sottrai $2 λ$ da $- λ$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 8$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $8$ da $2$ .

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 6$

Passaggio 5.2.3

Riordina $- 3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 6$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 3 λ - 6 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 6$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 6$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Somma $9$ e $24$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$λ = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

Forma decimale:

$λ = 4.37228132 \dots, - 1.37228132 \dots$