Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

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Passaggio 4.3.1

Somma $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

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Passaggio 5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Espandi $(x - λ) (2 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = x (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$p (λ) = 2 \cdot x + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 x - x λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.2.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 4$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 12$

Passaggio 5.2.2

Sposta $- 2 λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ + λ^{2} - 2 λ - 12$

Passaggio 5.2.3

Sposta $2 x$ .

$p (λ) = - x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - x - 2$ e $c = 2 x - 12$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{- (- x - 2) \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- - x$ .

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Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$λ = \frac{1 x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi ${(- x - 2)}^{2}$ come $(- x - 2) (- x - 2)$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{(- x - 2) (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Espandi $(- x - 2) (- x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x - 2) - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.6.1.2.1

Sposta $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.1.7

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.6.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.9

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.10

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.11

Sottrai $8 x$ da $4 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.12

Somma $4$ e $48$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

Passaggio 7.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$