Matematica discreta Esempi

\begin{matrix} x & P (x) 1 & 0.29 2 & 0.45 3 & 0.12 4 & 0.14 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.29 \\ 2 & 0.45 \\ 3 & 0.12 \\ 4 & 0.14 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta

x

$x$ assume una serie di valori separati (ad esempio

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità

P (x)

$P (x)$ a ciascun valore possibile

x

$x$ . Per ciascun valore

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ è compresa tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori

x

$x$ possibili equivale a

1

$1$ .

1. Per ogni

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

0.29

$0.29$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.29

$0.29$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.3

0.45

$0.45$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.45

$0.45$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.4

0.12

$0.12$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.12

$0.12$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.5

0.14

$0.14$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.14

$0.14$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.6

Per ogni

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.7

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ .

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14$

Passaggio 1.8

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ è

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma

0.29

$0.29$ e

0.45

$0.45$ .

0.74 + 0.12 + 0.14

$0.74 + 0.12 + 0.14$

Passaggio 1.8.2

Somma

0.74

$0.74$ e

0.12

$0.12$ .

0.86 + 0.14

$0.86 + 0.14$

Passaggio 1.8.3

Somma

0.86

$0.86$ e

0.14

$0.14$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 1.9

Per ogni

x

$x$ , la probabilità di

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili

x

$x$ è uguale a

1

$1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

0.29

$0.29$ per

1

$1$ .

0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Passaggio 3.2

Moltiplica

2

$2$ per

0.45

$0.45$ .

0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

Passaggio 3.3

Moltiplica

3

$3$ per

0.12

$0.12$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14$

Passaggio 3.4

Moltiplica

4

$4$ per

0.14

$0.14$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

Passaggio 4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma

0.29

$0.29$ e

0.9

$0.9$ .

1.19 + 0.36 + 0.56

$1.19 + 0.36 + 0.56$

Passaggio 4.2

Somma

1.19

$1.19$ e

0.36

$0.36$ .

1.55 + 0.56

$1.55 + 0.56$

Passaggio 4.3

Somma

1.55

$1.55$ e

0.56

$0.56$ .

2.11

$2.11$

2.11

$2.11$

Passaggio 5

Lo scarto quadratico medio di una distribuzione è una misura della dispersione ed è uguale alla radice quadrata della varianza.

s = \sqrt{\sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

Passaggio 6

Inserisci i valori noti.

\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2.11

$2.11$ .

\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.2

Sottrai

$2.11$ da

$1$ .

$\sqrt{{(- 1.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.3

Eleva

$- 1.11$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{1.2321 \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.4

Moltiplica

$1.2321$ per

$0.29$ .

$\sqrt{0.357309 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.5

Moltiplica

$- 1$ per

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + {(2 - 2.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.6

Sottrai

$2.11$ da

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + {(- 0.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.7

Eleva

$- 0.11$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.0121 \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.8

Moltiplica

$0.0121$ per

$0.45$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.9

Moltiplica

$- 1$ per

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - 2.11)}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.10

Sottrai

$2.11$ da

$3$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {0.89}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.11

Eleva

$0.89$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.7921 \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.12

Moltiplica

$0.7921$ per

$0.12$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.13

Moltiplica

$- 1$ per

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - 2.11)}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.14

Sottrai

$2.11$ da

$4$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {1.89}^{2} \cdot 0.14}$

Passaggio 7.15

Eleva

$1.89$ alla potenza di

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 3.5721 \cdot 0.14}$

Passaggio 7.16

Moltiplica

$3.5721$ per

$0.14$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 0.500094}$

Passaggio 7.17

Somma

$0.357309$ e

$0.005445$ .

$\sqrt{0.362754 + 0.095052 + 0.500094}$

Passaggio 7.18

Somma

$0.362754$ e

$0.095052$ .

$\sqrt{0.457806 + 0.500094}$

Passaggio 7.19

Somma

$0.457806$ e

$0.500094$ .

$\sqrt{0.9579}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\sqrt{0.9579}$

Forma decimale:

$0.97872365 \dots$