Matematica discreta Esempi

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.3 \\ 3 & 0.1 \\ 0 & 0.2 \\ 2 & 0.3 \\ 4 & 0.1 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta $x$ assume una serie di valori separati (ad esempio $0$ , $1$ , $2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità $P (x)$ a ciascun valore possibile $x$ . Per ciascun valore $x$ , la probabilità $P (x)$ è compresa tra $0$ e $1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori $x$ possibili equivale a $1$ .

1. Per ogni $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

$0.3$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.3$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.3

$0.1$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.1$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.4

$0.2$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.2$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.5

$0.3$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.3$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.6

$0.1$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0.1$ è compreso tra $0$ e $1$ inclusi

Passaggio 1.7

Per ogni $x$ , la probabilità $P (x)$ rientra tra $0$ e $1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.8

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di $x$ .

$0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Passaggio 1.9

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di $x$ è $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Somma $0.3$ e $0.1$ .

$0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Passaggio 1.9.2

Somma $0.4$ e $0.2$ .

$0.6 + 0.3 + 0.1$

Passaggio 1.9.3

Somma $0.6$ e $0.3$ .

$0.9 + 0.1$

Passaggio 1.9.4

Somma $0.9$ e $0.1$ .

$1$

Passaggio 1.10

Per ogni $x$ , la probabilità di $P (x)$ rientra tra $0$ e $1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili $x$ è uguale a $1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori $x$

Proprietà 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori $x$

Proprietà 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

$u = 1 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $0.3$ per $1$ .

$u = 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $0$ per $0.2$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $0.3$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 4 \cdot 0.1$

Passaggio 3.5

Moltiplica $4$ per $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 0.4$

Passaggio 4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $0.3$ e $0.3$ .

$u = 0.6 + 0 + 0.6 + 0.4$

Passaggio 4.2

Somma $0.6$ e $0$ .

$u = 0.6 + 0.6 + 0.4$

Passaggio 4.3

Somma $0.6$ e $0.6$ .

$u = 1.2 + 0.4$

Passaggio 4.4

Somma $1.2$ e $0.4$ .

$u = 1.6$

Passaggio 5

La varianza di una distribuzione è una misura della dispersione ed è uguale al quadrato dello scarto quadratico medio.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Passaggio 6

Inserisci i valori noti.

${(1 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1.6$ .

${(1 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.2

Sottrai $1.6$ da $1$ .

${(- 0.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.3

Eleva $- 0.6$ alla potenza di $2$ .

$0.36 \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $0.36$ per $0.3$ .

$0.108 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1.6$ .

$0.108 + {(3 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.6

Sottrai $1.6$ da $3$ .

$0.108 + {1.4}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.7

Eleva $1.4$ alla potenza di $2$ .

$0.108 + 1.96 \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica $1.96$ per $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.9

Moltiplica $- 1$ per $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.10

Sottrai $1.6$ da $0$ .

$0.108 + 0.196 + {(- 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.11

Eleva $- 1.6$ alla potenza di $2$ .

$0.108 + 0.196 + 2.56 \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.12

Moltiplica $2.56$ per $0.2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.13

Moltiplica $- 1$ per $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.14

Sottrai $1.6$ da $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {0.4}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.15

Eleva $0.4$ alla potenza di $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.16 \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.16

Moltiplica $0.16$ per $0.3$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.17

Moltiplica $- 1$ per $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.18

Sottrai $1.6$ da $4$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {2.4}^{2} \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.19

Eleva $2.4$ alla potenza di $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 5.76 \cdot 0.1$

Passaggio 7.1.20

Moltiplica $5.76$ per $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Passaggio 7.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $0.108$ e $0.196$ .

$0.304 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Passaggio 7.2.2

Somma $0.304$ e $0.512$ .

$0.816 + 0.048 + 0.576$

Passaggio 7.2.3

Somma $0.816$ e $0.048$ .

$0.864 + 0.576$

Passaggio 7.2.4

Somma $0.864$ e $0.576$ .

$1.44$