Matematica discreta Esempi

$[\begin{array}{c} 2 & - 10 & - 4 \\ 2 & 6 & 0 \\ - 3 & 18 & 5 \end{array}]$

Passaggio 1

Find the determinant.

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Passaggio 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 10 & - 4 \\ 18 & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 10 & - 4 \\ 18 & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Passaggio 1.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ - 3 & 18 \end{array} |$

Passaggio 1.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ - 3 & 18 \end{array} |$

Passaggio 1.1.9

Add the terms together.

$- 2 | \begin{array}{c} - 10 & - 4 \\ 18 & 5 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ - 3 & 18 \end{array} |$

Passaggio 1.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & - 10 \\ - 3 & 18 \end{array} |$ .

$- 2 | \begin{array}{c} - 10 & - 4 \\ 18 & 5 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 10 & - 4 \\ 18 & 5 \end{array} |$ .

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Passaggio 1.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (- 10 \cdot 5 - 18 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.2.1.1

Moltiplica $- 10$ per $5$ .

$- 2 (- 50 - 18 \cdot - 4) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3.2.1.2

Moltiplica $- 18$ per $- 4$ .

$- 2 (- 50 + 72) + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $- 50$ e $72$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} | + 0$

Passaggio 1.4

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ - 3 & 5 \end{array} |$ .

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Passaggio 1.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (2 \cdot 5 - (- 3 \cdot - 4)) + 0$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (10 - (- 3 \cdot - 4)) + 0$

Passaggio 1.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 3 \cdot - 4)$ .

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Passaggio 1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (10 - 1 \cdot 12) + 0$

Passaggio 1.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 (10 - 12) + 0$

Passaggio 1.4.2.2

Sottrai $12$ da $10$ .

$- 2 \cdot 22 + 6 \cdot - 2 + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $- 2$ per $22$ .

$- 44 + 6 \cdot - 2 + 0$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$- 44 - 12 + 0$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $12$ da $- 44$ .

$- 56 + 0$

Passaggio 1.5.3

Somma $- 56$ e $0$ .

$- 56$

Passaggio 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Passaggio 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & - 10 & - 4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 18 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 10}{2} & \frac{- 4}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 6 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 18 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 18 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 6 - 2 \cdot - 5 & 0 - 2 \cdot - 2 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 18 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 4 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 18 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 4 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 18 + 3 \cdot - 5 & 5 + 3 \cdot - 2 & 0 + 3 (\frac{1}{2}) & 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 4 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & - 1 & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Passaggio 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{0}{16} & \frac{16}{16} & \frac{4}{16} & \frac{- 1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 3 & - 1 & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & 0 \\ 0 & 3 & - 1 & \frac{3}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (\frac{1}{4}) & \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{16}) & 0 - 3 (\frac{1}{16}) & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{4} & \frac{27}{16} & - \frac{3}{16} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{4}{7}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{4}{7}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & 0 \\ - \frac{4}{7} \cdot 0 & - \frac{4}{7} \cdot 0 & - \frac{4}{7} (- \frac{7}{4}) & - \frac{4}{7} \cdot \frac{27}{16} & - \frac{4}{7} (- \frac{3}{16}) & - \frac{4}{7} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$

Passaggio 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} (- \frac{27}{28}) & \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{28} & 0 - \frac{1}{4} (- \frac{4}{7}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & - 2 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{28} & \frac{1}{28} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$

Passaggio 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 5 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & \frac{1}{2} + 2 (- \frac{27}{28}) & 0 + 2 (\frac{3}{28}) & 0 + 2 (- \frac{4}{7}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{28} & \frac{1}{28} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$

Passaggio 4.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & 0 & - \frac{10}{7} & \frac{3}{14} & - \frac{8}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{28} & \frac{1}{28} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$

Passaggio 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot 0 & - \frac{10}{7} + 5 (\frac{5}{28}) & \frac{3}{14} + 5 (\frac{1}{28}) & - \frac{8}{7} + 5 (\frac{1}{7}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{28} & \frac{1}{28} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$

Passaggio 4.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{15}{28} & \frac{11}{28} & - \frac{3}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{28} & \frac{1}{28} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$

Passaggio 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{28} & \frac{11}{28} & - \frac{3}{7} \\ \frac{5}{28} & \frac{1}{28} & \frac{1}{7} \\ - \frac{27}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{4}{7} \end{array}]$