Matematica discreta Esempi

${(2 + 5 i)}^{2} + (3 + 4 i) + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

${(2 + 5 i)}^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(2 + 5 i)}^{2}$ come $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ .

$(2 + 5 i) (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.2

Espandi $(2 + 5 i) (2 + 5 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 + 5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i (2 + 5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 + 2 (5 i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$4 + 10 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 5 i (5 i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $5 i (5 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 (i^{1} i^{1}) + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{1 + 1} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 i^{2} + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i + 25 \cdot - 1 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$4 + 10 i + 10 i - 25 + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $25$ da $4$ .

$- 21 + 10 i + 10 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.3.3

Somma $10 i$ e $10 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{\cos (30) + i \sin (30)}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{i}{0.8660254 + 0.5 i}$ per il coniugato di $0.8660254 + 0.5 i$ per rendere il denominatore reale.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Passaggio 2.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Combina.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{i \cdot 0.8660254 + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.2

Sposta $0.8660254$ alla sinistra di $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i + i (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.3

Moltiplica $i (- 0.5 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 (i^{1} i^{1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{1 + 1}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 \cdot i - 0.5 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i - 0.5 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $- 0.5$ per $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.8660254 i + 0.5}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.2.5

Riordina $0.8660254 i$ e $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Espandi $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1

Moltiplica $0.8660254$ per $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.3.2.2

Moltiplica $- 0.5$ per $0.8660254$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.3.2.3

Moltiplica $0.8660254$ per $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Passaggio 2.5.3.2.4

Moltiplica $- 0.5$ per $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Passaggio 2.5.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Passaggio 2.5.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 2.5.3.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Passaggio 2.5.3.2.9

Somma $- 0.4330127 i$ e $0.4330127 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1

Moltiplica $0$ per $i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Passaggio 2.5.3.3.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.3.3.3

Moltiplica $- 0.25$ per $- 1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Passaggio 2.5.3.4

Somma $0.75$ e $0$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{0.75 + 0.25}$

Passaggio 2.5.3.5

Somma $0.75$ e $0.25$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi $0.5$ come $1 (0.5)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 0.8660254 i}{1}$

Passaggio 2.7

Scomponi $1$ da $0.8660254 i$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)}{1}$

Passaggio 2.8

Scomponi $1$ da $1 (0.5) + 1 (0.8660254 i)$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1}$

Passaggio 2.9

Scomponi $1$ da $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1 (0.5 + 0.8660254 i)}{1 (1)}$

Passaggio 2.10

Frazioni separate.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + \frac{1}{1} \cdot \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Passaggio 2.11

Dividi $1$ per $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \frac{0.5 + 0.8660254 i}{1}$

Passaggio 2.12

Dividi $0.5 + 0.8660254 i$ per $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 (0.5 + 0.8660254 i)$

Passaggio 2.13

Applica la proprietà distributiva.

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 1 \cdot 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Passaggio 2.14

Moltiplica $1$ per $0.5$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 1 (0.8660254 i)$

Passaggio 2.15

Moltiplica $0.8660254$ per $1$ .

$- 21 + 20 i + 3 + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Passaggio 3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $- 21$ e $3$ .

$- 18 + 20 i + 4 i + 0.5 + 0.8660254 i$

Passaggio 3.2

Somma $- 18$ e $0.5$ .

$- 17.5 + 20 i + 4 i + 0.8660254 i$

Passaggio 3.3

Somma $20 i$ e $4 i$ .

$- 17.5 + 24 i + 0.8660254 i$

Passaggio 3.4

Somma $24 i$ e $0.8660254 i$ .

$- 17.5 + 24.8660254 i$