Matematica discreta Esempi

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{2} - 4 x + 7$

Passaggio 3

Moltiplica per $x^{2} - 4 x + 7$ ciascun termine in $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ per $x^{2} - 4 x + 7$ .

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 4 x + 7$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

Passaggio 3.3.2.2

Sposta $7$ alla sinistra di $y$ .

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ .

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

Passaggio 4.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

Passaggio 4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = y$ , $b = - 4 y$ e $c = 7 y - 5$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1.1

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.2

Sia $u = y \cdot (7 y - 5)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y \cdot (7 y - 5)$ con $u$ .

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Passaggio 4.5.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $- 4 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.3

Scomponi $4$ da $16 y^{2} - 4 u$ .

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Passaggio 4.5.1.3.1

Scomponi $4$ da $16 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.3.2

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y \cdot (7 y - 5)$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.1.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.1.5.1.4.1

Sposta $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.1.6

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.1.7

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.5.2

Sottrai $7 y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.6

Scomponi $y$ da $- 3 y^{2} + 5 y$ .

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Passaggio 4.5.1.6.1

Scomponi $y$ da $- 3 y^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.6.2

Scomponi $y$ da $5 y$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.6.3

Scomponi $y$ da $y (- 3 y) + y \cdot 5$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.7

Riscrivi $4 y (- 3 y + 5)$ come $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ .

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Passaggio 4.5.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

Passaggio 4.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$