Matematica discreta Esempi

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

Passaggio 1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

Passaggio 2

Imposta l'argomento in $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ come ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Semplifica.

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 2$

Passaggio 3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (2)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.6

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 3.3.7

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.3.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.8.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3.3.10

Consolida le soluzioni.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3.4

Trova il dominio di $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 3.4.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3.4.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Passaggio 3.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Passaggio 3.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 3.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 3.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

Passaggio 3.6.1.3

Il lato sinistro di $1.08738037$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 3.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

Passaggio 3.6.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 3.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 3.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

Passaggio 3.6.3.3

Il lato sinistro di $1.08738037$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \sqrt{2}$ Vero

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Vero

$x < - \sqrt{2}$ Vero

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Falso

$x > \sqrt{2}$ Vero

Passaggio 3.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - \sqrt{2}$ o $x > \sqrt{2}$

Passaggio 4

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 5.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 5.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

Passaggio 7