Matematica discreta Esempi

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

Passaggio 1

Sottrai $\log_{3} (3 x - 1)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ .

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Passaggio 2.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Passaggio 2.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

Passaggio 5

Semplifica $3^{0} (3 x - 1)$ .

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Passaggio 5.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3 x - 1$ per $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

Espandi $(5 - x) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $x$ da $5 x$ .

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

Passaggio 6.3

Sottrai $3 x$ da $4 x$ .

$x + 5 - x^{2} = - 1$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x^{2} = - 1 - 5$

Passaggio 7.2

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$x - x^{2} = - 6$

Passaggio 8

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x - x^{2} + 6 = 0$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Scomponi $- 1$ da $x - x^{2} + 6$ .

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Passaggio 9.1.1

Riordina $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Passaggio 9.1.3

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Passaggio 9.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Passaggio 9.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi.

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 9.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Passaggio 9.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 12

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 3) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 3, - 2$