Calcolo Esempi

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.4.1

Combina i termini opposti in $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ .

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Passaggio 3.6.4.1.1

Riordina i fattori nei termini di $e^{x} \cos (x)$ e $- \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Sottrai $e^{x} \cos (x)$ da $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.4.1.3

Somma $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.4.3

Sottrai $\sin (x) e^{x}$ da $- e^{x} \sin (x)$ .

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Passaggio 3.6.4.3.1

Sposta $\sin (x)$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.4.3.2

Sottrai $e^{x} \sin (x)$ da $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.5

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 3.6.5.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 3.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 3.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

Passaggio 3.6.5.2.4

Dividi $- 2 e^{- x} \sin (x)$ per $1$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$