Calcolo Esempi

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$4 x - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $4 x - x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $u$ da $4 u - u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Scomponi $u$ da $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Passaggio 1.2.1.2.2

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Passaggio 1.2.1.2.3

Scomponi $u$ da $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

Passaggio 1.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ .

$4 - x = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $4 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 1.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (4 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Passaggio 2

Riordina $4 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $1$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $0$ da $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Passaggio 4.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Passaggio 4.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Passaggio 4.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Passaggio 4.9.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $3$ e per $1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.4

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.5

$9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.7.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.7.2

Sottrai $1$ da $27$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

Passaggio 4.9.2.3.11

Sottrai $1$ da $9$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

Passaggio 4.9.2.3.12

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.12.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Passaggio 4.9.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Passaggio 4.9.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.9.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

Passaggio 4.9.2.3.12.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

Passaggio 4.9.2.3.13

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{26}{3} + 16$

Passaggio 4.9.2.3.14

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.9.2.3.15

$16$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.9.2.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.9.2.3.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.2.3.17.1

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{- 26 + 48}{3}$

Passaggio 4.9.2.3.17.2

Somma $- 26$ e $48$ .

$\frac{22}{3}$

Passaggio 5