Calcolo Esempi

$y = 2 x^{2}$ , $y = x^{3}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x^{2} = x^{3}$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x^{2} = x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{2} - x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} \cdot 2 - x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{3}$ .

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x)$ .

$x^{2} (2 - x) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 - x = 0 + y = x^{3}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 1.2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 1.2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (2 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$y = {(0)}^{3}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $0$ a $x$ in $y = {(0)}^{3}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3}$

Passaggio 1.3.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$y = {(2)}^{3}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $2$ a $x$ in $y = {(2)}^{3}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 2^{3}$

Passaggio 1.4.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y = 8$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(2, 8)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{2} 2 x^{2} d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - (x^{3}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $0$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Passaggio 3.9.2.2

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $2$ e per $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.5

Somma $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.6

$2$ e $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.7

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.8

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.9

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.9.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.9.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.9.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.11.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.11.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{16}{3} - (4 - 0)$

Passaggio 3.9.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 + 0)$

Passaggio 3.9.2.3.13

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.9.2.3.14

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{16}{3} - 4$

Passaggio 3.9.2.3.15

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.16

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.18.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{16 - 12}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.18.2

Sottrai $12$ da $16$ .

$\frac{4}{3}$

Passaggio 4