Calcolo Esempi

$y = x^{2} \sin (2 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (2 x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x)$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$