Calcolo Esempi

$\sin (4 y) = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 y$ .

$\cos (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (4 y) (4 y')$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori di $\cos (4 y) (4 y')$ .

$4 \cos (4 y) y'$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 \cos (4 y) y' = 1$

Passaggio 5

Dividi per $4 \cos (4 y)$ ciascun termine in $4 \cos (4 y) y' = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $4 \cos (4 y)$ ciascun termine in $4 \cos (4 y) y' = 1$ .

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (4 y)$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (4 y)}$

Passaggio 5.3.2

Converti da $\frac{1}{\cos (4 y)}$ a $\sec (4 y)$ .

$y' = \frac{1}{4} \sec (4 y)$

Passaggio 5.3.3

$\frac{1}{4}$ e $\sec (4 y)$ .

$y' = \frac{\sec (4 y)}{4}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 y)}{4}$