Calcolo Esempi

$\tan (x y) = x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Passaggio 5.2

Sottrai $y \sec^{2} (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Passaggio 5.3

Dividi per $x \sec^{2} (x y)$ ciascun termine in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $x \sec^{2} (x y)$ ciascun termine in $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x y)$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x y)$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$