Calcolo Esempi

x e^{x}

$x e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi

x e^{x}

$x e^{x}$ come funzione.

f (x) = x e^{x}

$f (x) = x e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = e^{x}

$g (x) = e^{x}$ .

x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

x e^{x} + e^{x} \cdot 1

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica

e^{x}

$e^{x}$ per

1

$1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di

$f (x)$ rispetto a

$x$ è

$x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a

$0$ quindi risolvi l'equazione

$x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a

$0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi

$e^{x}$ da

$x e^{x} + e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi

$e^{x}$ da

$x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica per

$1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi

$e^{x}$ da

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta

$e^{x}$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta

$e^{x}$ uguale a

$0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi

$e^{x} = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché

$\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per

$e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

Imposta

$x + 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta

$x + 1$ uguale a

$0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$e^{x} (x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a

$0$ sono

$- 1$ .

$- 1$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ uguale a

$0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove

$f (x) = x e^{x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.2

$- 2$ e

$\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Somma

$- 2$ e

$1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è

$- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di

$x = - 2$ la derivata è

$- \frac{1}{e^{2}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su

$(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su

$(- \infty, - 1)$ perché

$f' (x) < 0$

Decrescente su

$(- \infty, - 1)$ perché

$f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo

$(- 1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a

$0$ è

$1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica

$0$ per

$1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Passaggio 7.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a

$0$ è

$1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Passaggio 7.2.2

Somma

$0$ e

$1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è

$1$ .

$1$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di

$x = 0$ la derivata è

$1$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su

$(- 1, \infty)$ .

Crescente su

$(- 1, \infty)$ perché

$f' (x) > 0$

Crescente su

$(- 1, \infty)$ perché

$f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su:

$(- 1, \infty)$

Decrescente su:

$(- \infty, - 1)$

Passaggio 9