Calcolo Esempi

$x e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $x e^{x}$ come funzione.

$f (x) = x e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x} + e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = x e^{x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.2

$- 2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Somma $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- \frac{1}{e^{2}}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Passaggio 7.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $1$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, \infty)$ .

Crescente su $(- 1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1)$

Passaggio 9