Calcolo Esempi

cos (2 y)

$\cos (2 y)$

Passaggio 1

Scrivi

cos (2 y)

$\cos (2 y)$ come funzione.

f (y) = cos (2 y)

$f (y) = \cos (2 y)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione

F (y)

$F (y)$ determinando l'integrale indefinito della derivata

f (y)

$f (y)$ .

F (y) = \int f (y) d y

$F (y) = \int f (y) d y$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

F (y) = \int cos (2 y) d y

$F (y) = \int \cos (2 y) d y$

Passaggio 4

Sia

u = 2 y

$u = 2 y$ . Allora

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , quindi

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia

u = 2 y

$u = 2 y$ . Trova

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 4.1.2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

y

$y$ , la derivata di

2 y

$2 y$ rispetto a

y

$y$ è

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

\int cos (u) \frac{1}{2} d u

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

cos (u)

$\cos (u)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\int \frac{cos (u)}{2} d u

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Passaggio 6

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} \int cos (u) d u

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Passaggio 7

L'integrale di

cos (u)

$\cos (u)$ rispetto a

u

$u$ è

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (sin (u) + C)

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

\frac{1}{2} sin (u) + C

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione

f (y) = cos (2 y)

$f (y) = \cos (2 y)$ .

F (y) =

$F (y) =$

\frac{1}{2} sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x^{2} & \frac{1}{2} \sqrt{π} & \int x d x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$