Calcolo Esempi

$y = f (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = f (x)$ come funzione.

$f (x) = f (x)$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $f (x)$ è $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

Passaggio 3.2

Poiché $f$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{f}{x}$ rispetto a $x$ è $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 3.5.2

$f$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $f (x)$ è $\frac{d f}{d x}$ .

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{d f}{d x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{f}{x} = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $x$ .

$f = x (0)$

Passaggio 6.4

Riscrivi l'equazione come $x (0) = f$ .

$x (0) = f$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $0$ .

$0 = f$

Passaggio 6.6

Riscrivi $0 = f$ in modo che $f$ sia sul lato sinistro.

$f = 0$

Passaggio 6.7

La variabile $x$ è stata annullata.

Tutti i numeri reali

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{d f}{d x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$d x = 0$

Passaggio 7.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $d x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $d x = 0$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $d$ per $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi $0$ per $x$ .

$d = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Eleva $l$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $l$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.5

Eleva $l$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.7

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.8

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.9

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.11

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.12

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.13

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

Passaggio 10.1.15

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3.2

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a n u m b e^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3.3

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a n u m b$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3.4

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a n u m$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3.5

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a n u$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3.6

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a n$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3.7

Applica la regola del prodotto a $A l^{3} a$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.3.8

Applica la regola del prodotto a $A l^{3}$ .

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.4

Moltiplica gli esponenti in ${(l^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 10.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.5

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Passaggio 10.6

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

Passaggio 10.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

Passaggio 11

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 12