Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \sin (2 x)$