Calcolo Esempi

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Usa la formula di bisezione per riscrivere

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ come

\frac{1 - \cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6

Sia

u = 2 x

$u = 2 x$ . Allora

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , quindi

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia

u = 2 x

$u = 2 x$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

2 x

$2 x$ rispetto a

x

$x$ è

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7

\cos (u)

$\cos (u)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 9

L'integrale di

\cos (u)

$\cos (u)$ rispetto a

u

$u$ è

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

\sin (2 x)

$\sin (2 x)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 12.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

x

$x$ .

\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 12.4

Moltiplica

\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Moltiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

\frac{\sin (2 x)}{2}

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$