Calcolo Esempi

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ , dove

a

$a$ è il primo termine, e

r

$r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci

r

$r$ con

a_{n}

$a_{n}$ e

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ e

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ da

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per

1

$1$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

r = \frac{\frac{1}{2}}{1}

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

1

$1$ .

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Since

| r | < 1

$| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci

n

$n$ con

0

$0$ in

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

a = {(\frac{1}{2})}^{0}

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

a = \frac{1^{0}}{2^{0}}

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Passaggio 4.2.2

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

a = \frac{1}{2^{0}}

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a

0

$0$ è

1

$1$ .

a = \frac{1}{1}

$a = \frac{1}{1}$

Passaggio 4.2.4

Dividi

1

$1$ per

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai

1

$1$ da

2

$2$ .

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

1 \cdot 2

$1 \cdot 2$

Passaggio 6.3

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$