Calcolo Esempi

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ e ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{2})}^{n}$ da ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 4.1

Sostituisci $n$ con $0$ in ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Passaggio 4.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Passaggio 4.2.4

Dividi $1$ per $1$ .

$a = 1$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 2$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$