Calcolo Esempi

$\sin^{2} (θ)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{2} (θ)$ come funzione.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (θ)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (θ)$ come $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 θ$ . Allora $d u = 2 d θ$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = 2 θ$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 θ$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\sin (2 θ)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{2}$ e $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Passaggio 15.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$