Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

Passaggio 3.5.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

Passaggio 4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Scomponi $x$ da $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{3}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Passaggio 5.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 5.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 5.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Passaggio 5.3.5.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ tende a $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $0$ .

$0$