Calcolo Esempi

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ come funzione.

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Passaggio 2.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 2.6.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 2.6.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Passaggio 2.6.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 2.6.11.2

Moltiplica $x^{2} - 2 x + 1$ per $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.6.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.9

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.11

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.12

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.13

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.14

Sottrai $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.15

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.7.6.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Passaggio 2.7.6.17

Sottrai $1$ da $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $- 6 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Passaggio 5.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Passaggio 5.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Passaggio 5.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 5.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 5.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 5.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 5.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Passaggio 5.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Passaggio 5.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Passaggio 5.1.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5.1.6.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 5.1.6.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 5.1.6.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Passaggio 5.1.6.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.1.6.11.2

Moltiplica $x^{2} - 2 x + 1$ per $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 5.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.7.6.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.9

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.10

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.11

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.12

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.13

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.14

Sottrai $x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.15

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.7.6.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Passaggio 5.1.7.6.17

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 2$ come $1$ più $- 3$ .

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 6.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 6.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Passaggio 10.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Passaggio 10.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Passaggio 10.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 + 2$

Passaggio 10.2

Somma $2$ e $2$ .

$4$

Passaggio 11

$x = - \frac{1}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Passaggio 12.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Passaggio 12.2.3

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Passaggio 12.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Passaggio 12.2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 12.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Passaggio 12.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

Passaggio 12.2.7.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

Passaggio 12.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

Passaggio 12.2.9

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

Passaggio 12.2.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

Passaggio 12.2.10

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.10.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 12.2.10.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.10.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 12.2.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 12.2.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 12.2.11

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

Passaggio 12.2.12

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

Passaggio 12.2.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Passaggio 12.2.14

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.14.1

Moltiplica $\frac{16}{9}$ per $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Passaggio 12.2.14.2

Moltiplica $16$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

Passaggio 12.2.14.3

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Passaggio 12.2.15

La risposta finale è $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 + 2$

Passaggio 14.2

Somma $- 6$ e $2$ .

$- 4$

Passaggio 15

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

Passaggio 16.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

Passaggio 16.2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

Passaggio 16.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0$

Passaggio 16.2.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 16.2.6

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ è un minimo locale

$(1, 0)$ è un massimo locale

Passaggio 18