Calcolo Esempi

$k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.4

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Passaggio 1.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.1.3

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.2.3

Somma $3 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.3

Riscrivi ${(t^{2} - 4)}^{2}$ come $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.4

Espandi $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.5.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.5.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.5.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai $4 t^{2}$ da $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.1

Moltiplica $t$ per $t^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.1.1

Sposta $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.7.1.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.7.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.7.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.7.3

Moltiplica $16$ per $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.8.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.8.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.8.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.8.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.8.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.8.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 1.7.9

Espandi $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.10.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.2

Moltiplica $t^{5}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.10.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.2.3

Somma $2$ e $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.4

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.6

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.10.6.1

Sposta $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.7

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.8

Moltiplica $- 4$ per $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.10

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.10.10.1

Sposta $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.10.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.10.10.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.11

Moltiplica $32$ per $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 1.7.10.12

Moltiplica $- 4$ per $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Passaggio 1.7.11

Sottrai $64 t^{5}$ da $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Passaggio 1.7.12

Somma $64 t^{3}$ e $128 t^{3}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [8 t^{7}] + \frac{d}{d t} [- 72 t^{5}] + \frac{d}{d t} [192 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

$k'' (t) = \frac{d}{d t} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [8 t^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 t^{7}$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$k'' (t) = 8 \frac{d}{d t} (t^{7}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$k'' (t) = 8 (7 t^{6}) + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $7$ per $8$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} + \frac{d}{d t} (- 72 t^{5}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 72 t^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 72 t^{5}$ rispetto a $t$ è $- 72 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 \frac{d}{d t} t^{5} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 72 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $5$ per $- 72$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + \frac{d}{d t} (192 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d t} [192 t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $192$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $192 t^{3}$ rispetto a $t$ è $192 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 192 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $3$ per $192$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 128 t)$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d t} [- 128 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 128$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 128 t$ rispetto a $t$ è $- 128 \frac{d}{d t} [t]$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128 \cdot 1$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 128$ per $1$ .

$k'' (t) = 56 t^{6} - 360 t^{4} + 576 t^{2} - 128$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 4)}^{3}] + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2} - 4$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 4]) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t + 0)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.4.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$t^{2} (3 {(t^{2} - 4)}^{2} (2 t)) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2} t) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Sposta $t$ .

$t \cdot t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$t^{1} t^{2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$t^{1 + 2} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + {(t^{2} - 4)}^{3} (2 t)$

Passaggio 4.1.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Passaggio 4.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2}) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1.1

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $t^{3} (6 {(t^{2} - 4)}^{2})$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + 2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$

Passaggio 4.1.7.1.2

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $2 {(t^{2} - 4)}^{3} t$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.1.3

Scomponi $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2}$ da $t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3)) + t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} - 4)$ .

$t \cdot 2 {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$2 \cdot t {(t^{2} - 4)}^{2} (t^{2} \cdot (3) + t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (3 \cdot t^{2} + t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.2.3

Somma $3 t^{2}$ e $t^{2}$ .

$2 t {(t^{2} - 4)}^{2} (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.3

Riscrivi ${(t^{2} - 4)}^{2}$ come $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ .

$2 t ((t^{2} - 4) (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.4

Espandi $(t^{2} - 4) (t^{2} - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 t (t^{2} (t^{2} - 4) - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 (t^{2} - 4)) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 t (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.5.1.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.5.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 t (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.5.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$2 t (t^{4} + t^{2} \cdot - 4 - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.5.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 4 \cdot t^{2} - 4 t^{2} - 4 \cdot - 4) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.5.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$2 t (t^{4} - 4 t^{2} - 4 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.5.2

Sottrai $4 t^{2}$ da $- 4 t^{2}$ .

$2 t (t^{4} - 8 t^{2} + 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$(2 t \cdot t^{4} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.7.1

Moltiplica $t$ per $t^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.7.1.1

Sposta $t^{4}$ .

$(2 (t^{4} t) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.7.1.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.7.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$(2 (t^{4} t^{1}) + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 t^{4 + 1} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.7.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 t (- 8 t^{2}) + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 2 t \cdot 16) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.7.3

Moltiplica $16$ per $2$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t \cdot t^{2} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.8.1

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.8.1.1

Sposta $t^{2}$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.8.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.8.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{2} t^{1}) + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.8.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{2 + 1} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.8.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$(2 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.8.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$

Passaggio 4.1.7.9

Espandi $(2 t^{5} - 16 t^{3} + 32 t) (4 t^{2} - 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$2 t^{5} (4 t^{2}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.10.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 4 t^{5} t^{2} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.2

Moltiplica $t^{5}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.10.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$2 \cdot 4 (t^{2} t^{5}) + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 4 t^{2 + 5} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.2.3

Somma $2$ e $5$ .

$2 \cdot 4 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 t^{7} + 2 t^{5} \cdot - 4 - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.4

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 t^{3} (4 t^{2}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{3} t^{2} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.6

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.10.6.1

Sposta $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 (t^{2} t^{3}) - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{2 + 3} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 16 \cdot 4 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.7

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} - 16 t^{3} \cdot - 4 + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.8

Moltiplica $- 4$ per $- 16$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 t (4 t^{2}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t \cdot t^{2} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.10

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.10.10.1

Sposta $t^{2}$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.10.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.10.10.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 (t^{2} t^{1}) + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{2 + 1} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 32 \cdot 4 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.11

Moltiplica $32$ per $4$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} + 32 t \cdot - 4$

Passaggio 4.1.7.10.12

Moltiplica $- 4$ per $32$ .

$8 t^{7} - 8 t^{5} - 64 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Passaggio 4.1.7.11

Sottrai $64 t^{5}$ da $- 8 t^{5}$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 64 t^{3} + 128 t^{3} - 128 t$

Passaggio 4.1.7.12

Somma $64 t^{3}$ e $128 t^{3}$ .

$f' (t) = 8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $k (t)$ rispetto a $t$ è $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $8 t$ da $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $8 t$ da $8 t^{7}$ .

$8 t (t^{6}) - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $8 t$ da $- 72 t^{5}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 192 t^{3} - 128 t = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $8 t$ da $192 t^{3}$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) - 128 t = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $8 t$ da $- 128 t$ .

$8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $8 t$ da $8 t (t^{6}) + 8 t (- 9 t^{4})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Passaggio 5.2.1.6

Scomponi $8 t$ da $8 t (t^{6} - 9 t^{4}) + 8 t (24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16) = 0$

Passaggio 5.2.1.7

Scomponi $8 t$ da $8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2}) + 8 t (- 16)$ .

$8 t (t^{6} - 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 9 t^{4} + 24 t^{2} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $- 9 t^{4}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) + 24 t^{2} - 16) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Scomponi $- 1$ da $24 t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 16) = 0$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4}) - (- 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Passaggio 5.2.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (9 t^{4}) - (- 24 t^{2})$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 \cdot 16) = 0$

Passaggio 5.2.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (9 t^{4} - 24 t^{2}) - 1 (16)$ .

$8 t (t^{6} - (9 t^{4} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $t^{4}$ come ${(t^{2})}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - (9 {(t^{2})}^{2} - 24 t^{2} + 16)) = 0$

Passaggio 5.2.4

Sia $u = t^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $t^{2}$ con $u$ .

$8 t (t^{6} - (9 u^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Passaggio 5.2.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Riscrivi $9 u^{2}$ come ${(3 u)}^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 16)) = 0$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 24 u + 4^{2})) = 0$

Passaggio 5.2.5.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$24 u = 2 \cdot (3 u) \cdot 4$

Passaggio 5.2.5.4

Riscrivi il polinomio.

$8 t (t^{6} - ({(3 u)}^{2} - 2 \cdot (3 u) \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Passaggio 5.2.5.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 3 u$ e $b = 4$ .

$8 t (t^{6} - {(3 u - 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2}$ .

$8 t (t^{6} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.7

Riscrivi $t^{6}$ come ${(t^{3})}^{2}$ .

$8 t ({(t^{3})}^{2} - {(3 t^{2} - 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = t^{3}$ e $b = 3 t^{2} - 4$ .

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Passaggio 5.2.9

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.1

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$8 t ((t^{3} + 3 t^{2} - 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.2

Riscrivi $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.2.1

Scomponi $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} - 4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 - 4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.3.5

Somma $1$ e $3$ .

$4 - 4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.3.6

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $t - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} - 4}{t - 1}$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5

Dividi $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ per $t - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $t^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			+	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $t^{3} - t^{2}$

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$t^{2}$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 t^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 t^{2} - 4 t$

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$t^{2}$	+	$4 t$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 t$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							+	$4 t$	-	$4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 t - 4$

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$t^{2}$	+	$4 t$	+	$4$
$t$	-	$1$		$t^{3}$	+	$3 t^{2}$	+	$0 t$	-	$4$
			-	$t^{3}$	+	$t^{2}$
					+	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	-	$4$
							-	$4 t$	+	$4$
										$0$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$t^{2} + 4 t + 4$

Passaggio 5.2.9.1.2.1.6

Scrivi $t^{3} + 3 t^{2} - 4$ come insieme di fattori.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 4) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 4 t + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Passaggio 5.2.9.1.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$8 t ((t - 1) (t^{2} + 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}) (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = t$ e $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2} - 4))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - (3 t^{2}) + 4)) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t^{3} - 3 t^{2} + 4)) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.6.1

Riscrivi $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1

Scomponi $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.3.5

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.3.6

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $t + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 4}{t + 1}$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5

Dividi $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ per $t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0 t$

$4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $t^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			+	$t^{3}$	+	$t^{2}$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $t^{3} + t^{2}$

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$t^{2}$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 t^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					-	$4 t^{2}$	-	$4 t$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 t^{2} - 4 t$

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$t^{2}$	-	$4 t$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 t$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							+	$4 t$	+	$4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 t + 4$

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$t^{2}$	-	$4 t$	+	$4$
$t$	+	$1$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$
			-	$t^{3}$	-	$t^{2}$
					-	$4 t^{2}$	+	$0 t$
					+	$4 t^{2}$	+	$4 t$
							+	$4 t$	+	$4$
							-	$4 t$	-	$4$
										$0$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$t^{2} - 4 t + 4$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.1.6

Scrivi $t^{3} - 3 t^{2} + 4$ come insieme di fattori.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 4))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1.6.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 4 t + 2^{2}))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 t = 2 \cdot t \cdot 2$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 2 + 2^{2}))) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.6.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = t$ e $b = 2$ .

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} ((t + 1) {(t - 2)}^{2})) = 0$

Passaggio 5.2.9.1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$8 t ((t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

$t - 1 = 0$

${(t + 2)}^{2} = 0$

$t + 1 = 0$

${(t - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $t - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $t - 1$ uguale a $0$ .

$t - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 1$

Passaggio 5.6

Imposta ${(t + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta ${(t + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi ${(t + 2)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Poni $t + 2$ uguale a $0$ .

$t + 2 = 0$

Passaggio 5.6.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 2$

Passaggio 5.7

Imposta $t + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Imposta $t + 1$ uguale a $0$ .

$t + 1 = 0$

Passaggio 5.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t = - 1$

Passaggio 5.8

Imposta ${(t - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Imposta ${(t - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(t - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.8.2

Risolvi ${(t - 2)}^{2} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Poni $t - 2$ uguale a $0$ .

$t - 2 = 0$

Passaggio 5.8.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t = 2$

Passaggio 5.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $8 t (t - 1) {(t + 2)}^{2} (t + 1) {(t - 2)}^{2} = 0$ vera.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$t = 0, 1, - 2, - 1, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$56 {(0)}^{6} - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$56 \cdot 0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $56$ per $0$ .

$0 - 360 {(0)}^{4} + 576 {(0)}^{2} - 128$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 360 \cdot 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 360$ per $0$ .

$0 + 0 + 576 {(0)}^{2} - 128$

Passaggio 9.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 576 \cdot 0 - 128$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $576$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 - 128$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 128$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 128$

Passaggio 9.2.3

Sottrai $128$ da $0$ .

$- 128$

Passaggio 10

$t = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$k (0) = {(0)}^{2} {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$k (0) = 0 {({(0)}^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 11.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$k (0) = 0 {(0 - 4)}^{3}$

Passaggio 11.2.3

Sottrai $4$ da $0$ .

$k (0) = 0 {(- 4)}^{3}$

Passaggio 11.2.4

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$k (0) = 0 \cdot - 64$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $0$ per $- 64$ .

$k (0) = 0$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$56 {(1)}^{6} - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$56 \cdot 1 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $56$ per $1$ .

$56 - 360 {(1)}^{4} + 576 {(1)}^{2} - 128$

Passaggio 13.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$56 - 360 \cdot 1 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 360$ per $1$ .

$56 - 360 + 576 {(1)}^{2} - 128$

Passaggio 13.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$56 - 360 + 576 \cdot 1 - 128$

Passaggio 13.1.6

Moltiplica $576$ per $1$ .

$56 - 360 + 576 - 128$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Sottrai $360$ da $56$ .

$- 304 + 576 - 128$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 304$ e $576$ .

$272 - 128$

Passaggio 13.2.3

Sottrai $128$ da $272$ .

$144$

Passaggio 14

$t = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $t = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $t$ con $1$ nell'espressione.

$k (1) = {(1)}^{2} {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$k (1) = 1 {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 15.2.2

Moltiplica ${({(1)}^{2} - 4)}^{3}$ per $1$ .

$k (1) = {({(1)}^{2} - 4)}^{3}$

Passaggio 15.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$k (1) = {(1 - 4)}^{3}$

Passaggio 15.2.4

Sottrai $4$ da $1$ .

$k (1) = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 15.2.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$k (1) = - 27$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $- 27$ .

$y = - 27$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $t = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$56 {(- 2)}^{6} - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$56 \cdot 64 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $56$ per $64$ .

$3584 - 360 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Passaggio 17.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$3584 - 360 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica $- 360$ per $16$ .

$3584 - 5760 + 576 {(- 2)}^{2} - 128$

Passaggio 17.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$3584 - 5760 + 576 \cdot 4 - 128$

Passaggio 17.1.6

Moltiplica $576$ per $4$ .

$3584 - 5760 + 2304 - 128$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Sottrai $5760$ da $3584$ .

$- 2176 + 2304 - 128$

Passaggio 17.2.2

Somma $- 2176$ e $2304$ .

$128 - 128$

Passaggio 17.2.3

Sottrai $128$ da $128$ .

$0$

Passaggio 18

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $t$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 18.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 4$ nell'espressione.

$k' (- 4) = 8 {(- 4)}^{7} - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Passaggio 18.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $7$ .

$k' (- 4) = 8 \cdot - 16384 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Passaggio 18.2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 16384$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 {(- 4)}^{5} + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Passaggio 18.2.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $5$ .

$k' (- 4) = - 131072 - 72 \cdot - 1024 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Passaggio 18.2.2.1.4

Moltiplica $- 72$ per $- 1024$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 {(- 4)}^{3} - 128 \cdot - 4$

Passaggio 18.2.2.1.5

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 + 192 \cdot - 64 - 128 \cdot - 4$

Passaggio 18.2.2.1.6

Moltiplica $192$ per $- 64$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 - 128 \cdot - 4$

Passaggio 18.2.2.1.7

Moltiplica $- 128$ per $- 4$ .

$k' (- 4) = - 131072 + 73728 - 12288 + 512$

Passaggio 18.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.2.1

Somma $- 131072$ e $73728$ .

$k' (- 4) = - 57344 - 12288 + 512$

Passaggio 18.2.2.2.2

Sottrai $12288$ da $- 57344$ .

$k' (- 4) = - 69632 + 512$

Passaggio 18.2.2.2.3

Somma $- 69632$ e $512$ .

$k' (- 4) = - 69120$

Passaggio 18.2.2.3

La risposta finale è $- 69120$ .

$- 69120$

Passaggio 18.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1.5$ , dell'intervallo $(- 2, - 1)$ nella derivata prima $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 1.5$ nell'espressione.

$k' (- 1.5) = 8 {(- 1.5)}^{7} - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Passaggio 18.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1.1

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $7$ .

$k' (- 1.5) = 8 \cdot - 17.0859375 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Passaggio 18.3.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 17.0859375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 {(- 1.5)}^{5} + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Passaggio 18.3.2.1.3

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 - 72 \cdot - 7.59375 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Passaggio 18.3.2.1.4

Moltiplica $- 72$ per $- 7.59375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 {(- 1.5)}^{3} - 128 \cdot - 1.5$

Passaggio 18.3.2.1.5

Eleva $- 1.5$ alla potenza di $3$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 + 192 \cdot - 3.375 - 128 \cdot - 1.5$

Passaggio 18.3.2.1.6

Moltiplica $192$ per $- 3.375$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 - 128 \cdot - 1.5$

Passaggio 18.3.2.1.7

Moltiplica $- 128$ per $- 1.5$ .

$k' (- 1.5) = - 136.6875 + 546.75 - 648 + 192$

Passaggio 18.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.2.1

Somma $- 136.6875$ e $546.75$ .

$k' (- 1.5) = 410.0625 - 648 + 192$

Passaggio 18.3.2.2.2

Sottrai $648$ da $410.0625$ .

$k' (- 1.5) = - 237.9375 + 192$

Passaggio 18.3.2.2.3

Somma $- 237.9375$ e $192$ .

$k' (- 1.5) = - 45.9375$

Passaggio 18.3.2.3

La risposta finale è $- 45.9375$ .

$- 45.9375$

Passaggio 18.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Sostituisci la variabile $t$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$k' (- 0.5) = 8 {(- 0.5)}^{7} - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Passaggio 18.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1.1

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $7$ .

$k' (- 0.5) = 8 \cdot - 0.0078125 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Passaggio 18.4.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 0.0078125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 {(- 0.5)}^{5} + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Passaggio 18.4.2.1.3

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 - 72 \cdot - 0.03125 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Passaggio 18.4.2.1.4

Moltiplica $- 72$ per $- 0.03125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 {(- 0.5)}^{3} - 128 \cdot - 0.5$

Passaggio 18.4.2.1.5

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 + 192 \cdot - 0.125 - 128 \cdot - 0.5$

Passaggio 18.4.2.1.6

Moltiplica $192$ per $- 0.125$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 - 128 \cdot - 0.5$

Passaggio 18.4.2.1.7

Moltiplica $- 128$ per $- 0.5$ .

$k' (- 0.5) = - 0.0625 + 2.25 - 24 + 64$

Passaggio 18.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.2.1

Somma $- 0.0625$ e $2.25$ .

$k' (- 0.5) = 2.1875 - 24 + 64$

Passaggio 18.4.2.2.2

Sottrai $24$ da $2.1875$ .

$k' (- 0.5) = - 21.8125 + 64$

Passaggio 18.4.2.2.3

Somma $- 21.8125$ e $64$ .

$k' (- 0.5) = 42.1875$

Passaggio 18.4.2.3

La risposta finale è $42.1875$ .

$42.1875$

Passaggio 18.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.5$ , dell'intervallo $(0, 1)$ nella derivata prima $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0.5$ nell'espressione.

$k' (0.5) = 8 {(0.5)}^{7} - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Passaggio 18.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $7$ .

$k' (0.5) = 8 \cdot 0.0078125 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Passaggio 18.5.2.1.2

Moltiplica $8$ per $0.0078125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 {(0.5)}^{5} + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Passaggio 18.5.2.1.3

Eleva $0.5$ alla potenza di $5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 72 \cdot 0.03125 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Passaggio 18.5.2.1.4

Moltiplica $- 72$ per $0.03125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 {(0.5)}^{3} - 128 \cdot 0.5$

Passaggio 18.5.2.1.5

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 192 \cdot 0.125 - 128 \cdot 0.5$

Passaggio 18.5.2.1.6

Moltiplica $192$ per $0.125$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 128 \cdot 0.5$

Passaggio 18.5.2.1.7

Moltiplica $- 128$ per $0.5$ .

$k' (0.5) = 0.0625 - 2.25 + 24 - 64$

Passaggio 18.5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.2.1

Sottrai $2.25$ da $0.0625$ .

$k' (0.5) = - 2.1875 + 24 - 64$

Passaggio 18.5.2.2.2

Somma $- 2.1875$ e $24$ .

$k' (0.5) = 21.8125 - 64$

Passaggio 18.5.2.2.3

Sottrai $64$ da $21.8125$ .

$k' (0.5) = - 42.1875$

Passaggio 18.5.2.3

La risposta finale è $- 42.1875$ .

$- 42.1875$

Passaggio 18.6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1.5$ , dell'intervallo $(1, 2)$ nella derivata prima $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.1

Sostituisci la variabile $t$ con $1.5$ nell'espressione.

$k' (1.5) = 8 {(1.5)}^{7} - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Passaggio 18.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.2.1.1

Eleva $1.5$ alla potenza di $7$ .

$k' (1.5) = 8 \cdot 17.0859375 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Passaggio 18.6.2.1.2

Moltiplica $8$ per $17.0859375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 {(1.5)}^{5} + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Passaggio 18.6.2.1.3

Eleva $1.5$ alla potenza di $5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 72 \cdot 7.59375 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Passaggio 18.6.2.1.4

Moltiplica $- 72$ per $7.59375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 {(1.5)}^{3} - 128 \cdot 1.5$

Passaggio 18.6.2.1.5

Eleva $1.5$ alla potenza di $3$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 192 \cdot 3.375 - 128 \cdot 1.5$

Passaggio 18.6.2.1.6

Moltiplica $192$ per $3.375$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 128 \cdot 1.5$

Passaggio 18.6.2.1.7

Moltiplica $- 128$ per $1.5$ .

$k' (1.5) = 136.6875 - 546.75 + 648 - 192$

Passaggio 18.6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.2.2.1

Sottrai $546.75$ da $136.6875$ .

$k' (1.5) = - 410.0625 + 648 - 192$

Passaggio 18.6.2.2.2

Somma $- 410.0625$ e $648$ .

$k' (1.5) = 237.9375 - 192$

Passaggio 18.6.2.2.3

Sottrai $192$ da $237.9375$ .

$k' (1.5) = 45.9375$

Passaggio 18.6.2.3

La risposta finale è $45.9375$ .

$45.9375$

Passaggio 18.7

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $8 t^{7} - 72 t^{5} + 192 t^{3} - 128 t$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.7.1

Sostituisci la variabile $t$ con $4$ nell'espressione.

$k' (4) = 8 {(4)}^{7} - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Passaggio 18.7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $7$ .

$k' (4) = 8 \cdot 16384 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Passaggio 18.7.2.1.2

Moltiplica $8$ per $16384$ .

$k' (4) = 131072 - 72 {(4)}^{5} + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Passaggio 18.7.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$k' (4) = 131072 - 72 \cdot 1024 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Passaggio 18.7.2.1.4

Moltiplica $- 72$ per $1024$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 {(4)}^{3} - 128 \cdot 4$

Passaggio 18.7.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 192 \cdot 64 - 128 \cdot 4$

Passaggio 18.7.2.1.6

Moltiplica $192$ per $64$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 128 \cdot 4$

Passaggio 18.7.2.1.7

Moltiplica $- 128$ per $4$ .

$k' (4) = 131072 - 73728 + 12288 - 512$

Passaggio 18.7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.7.2.2.1

Sottrai $73728$ da $131072$ .

$k' (4) = 57344 + 12288 - 512$

Passaggio 18.7.2.2.2

Somma $57344$ e $12288$ .

$k' (4) = 69632 - 512$

Passaggio 18.7.2.2.3

Sottrai $512$ da $69632$ .

$k' (4) = 69120$

Passaggio 18.7.2.3

La risposta finale è $69120$ .

$69120$

Passaggio 18.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $t = - 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 18.9

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = - 1$ , allora $t = - 1$ è un minimo locale.

$t = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 18.10

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $t = 0$ , allora $t = 0$ è un massimo locale.

$t = 0$ è un massimo locale

Passaggio 18.11

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $t = 1$ , allora $t = 1$ è un minimo locale.

$t = 1$ è un minimo locale

Passaggio 18.12

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $t = 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 18.13

Questi sono gli estremi locali per $k (t) = t^{2} {(t^{2} - 4)}^{3}$ .

$t = - 1$ è un minimo locale

$t = 0$ è un massimo locale

$t = 1$ è un minimo locale

$t = - 1$ è un minimo locale

$t = 0$ è un massimo locale

$t = 1$ è un minimo locale

Passaggio 19