Calcolo Esempi

lim_{x \to \infty} x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

Passaggio 1

Riscrivi

x e^{- x}

$x e^{- x}$ come

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 2.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché l'esponente

x

$x$ tende a

\infty

$\infty$ , la quantità

e^{x}

$e^{x}$ tende a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ tende a

0

$0$ .

0

$0$