Calcolo Esempi

lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine

5

$5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

x

$x$ .

\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica

5

$5$ per

0

$0$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Passaggio 1.2.3.2

Il valore esatto di

\sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta il termine

5

$5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

x

$x$ .

\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\frac{0}{5 \cdot 0}

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica

5

$5$ per

0

$0$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per

0

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per

0

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ e

g (x) = 5 x

$g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

u

$u$ come

5 x

$5 x$ .

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di

\sin (u)

$\sin (u)$ rispetto a

u

$u$ è

\cos (u)

$\cos (u)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

5 x

$5 x$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.3

Poiché

5

$5$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

5 x

$5 x$ rispetto a

x

$x$ è

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica

5

$5$ per

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.6

Sposta

5

$5$ alla sinistra di

\cos (5 x)

$\cos (5 x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x]}

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.7

Poiché

5

$5$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

5 x

$5 x$ rispetto a

x

$x$ è

5 \frac{d}{d x} [x]

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1}

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1}$

Passaggio 3.9

Moltiplica

5

$5$ per

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di

5

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Passaggio 4.1.2

Dividi

\cos (5 x)

$\cos (5 x)$ per

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \cos (5 x)

$lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

lim_{x \to 0} \cos (5 x)

$lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Passaggio 4.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

\cos (lim_{x \to 0} 5 x)

$\cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Passaggio 4.3

Sposta il termine

5

$5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

x

$x$ .

\cos (5 lim_{x \to 0} x)

$\cos (5 lim_{x \to 0} x)$

\cos (5 lim_{x \to 0} x)

$\cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 5

Calcola il limite di

x

$x$ inserendo

0

$0$ per

x

$x$ .

\cos (5 \cdot 0)

$\cos (5 \cdot 0)$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica

5

$5$ per

0

$0$ .

\cos (0)

$\cos (0)$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di

\cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$