Calcolo Esempi

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

h

$h$ tende a

0

$0$ .

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di

1

$1$ che è costante, mentre

h

$h$ tende a

0

$0$ .

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di

h

$h$ inserendo

0

$0$ per

h

$h$ .

\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di

\cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai

1

$1$ da

1

$1$ .

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di

h

$h$ inserendo

0

$0$ per

h

$h$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per

0

$0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

\cos (h) - 1

$\cos (h) - 1$ rispetto a

h

$h$ è

\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]

$\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di

\cos (h)

$\cos (h)$ rispetto a

h

$h$ è

- \sin (h)

$- \sin (h)$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

h

$h$ , la derivata di

- 1

$- 1$ rispetto a

h

$h$ è

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.5

Somma

- \sin (h)

$- \sin (h)$ e

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d h} [h^{n}]

$\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è

n h^{n - 1}

$n h^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi

- \sin (h)

$- \sin (h)$ per

1

$1$ .

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine

- 1

$- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

h

$h$ .

- lim_{h \to 0} \sin (h)

$- lim_{h \to 0} \sin (h)$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 3

Calcola il limite di

h

$h$ inserendo

0

$0$ per

h

$h$ .

- \sin (0)

$- \sin (0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il valore esatto di

\sin (0)

$\sin (0)$ è

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Passaggio 4.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$