Calcolo Esempi

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Passaggio 1.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Passaggio 1.1.3

Poiché l'esponente

n

$n$ tende a

\infty

$\infty$ , la quantità

2^{n}

$2^{n}$ tende a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.2

Poiché

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

\frac{d}{d n} [a^{n}]

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ è

a^{n} \ln (a)

$a^{n} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

2

$2$ .

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

Passaggio 2

Sposta il termine

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

n

$n$ .

\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

Passaggio 3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

\frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{2^{n}}$ tende a

0

$0$ .

\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Passaggio 4

Moltiplica

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ per

0

$0$ .

0

$0$