Calcolo Esempi

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Passaggio 1

Espandi ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(1 - \cos (x))}^{2}$ come $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 1.5

Sposta $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Passaggio 1.6

Sposta $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1.7

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1.10

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1.11

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1.12

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1.13

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Passaggio 1.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 1.15

Somma $1$ e $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 1.16

Sottrai $\cos (x)$ da $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 10

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 11

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 13

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 16.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 16.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Passaggio 16.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$