Calcolo Esempi

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

Passaggio 1

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ come

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Passaggio 2

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

y

$y$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Passaggio 5

Sia

u = 2 y

$u = 2 y$ . Allora

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , quindi

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia

u = 2 y

$u = 2 y$ . Trova

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Passaggio 5.1.2

Poiché

2

$2$ è costante rispetto a

y

$y$ , la derivata di

2 y

$2 y$ rispetto a

y

$y$ è

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 6

\cos (u)

$\cos (u)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 7

Poiché

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

u

$u$ , sposta

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 8

L'integrale di

\cos (u)

$\cos (u)$ rispetto a

u

$u$ è

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 9

Semplifica.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Passaggio 11.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

y

$y$ .

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Passaggio 11.4

Moltiplica

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Moltiplica

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ per

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 11.4.2

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$