Calcolo Esempi

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\sec (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Passaggio 1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Passaggio 1.4

$\sin (2 x)$ e $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Passaggio 1.5

Scomponi $\cos (2 x)$ da $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Passaggio 1.6

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Passaggio 1.7

Converti da $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.8

$\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ e $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Passaggio 1.9

Scomponi $\cos (2 x)$ da $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Passaggio 1.10

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Passaggio 1.11

Riscrivi $\tan (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Passaggio 1.12

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ come un prodotto.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Passaggio 1.13

Semplifica.

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Passaggio 1.13.1

Converti da $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Passaggio 1.13.2

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.14

Moltiplica $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

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Passaggio 1.14.1

$\tan (2 x)$ e $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Passaggio 1.14.2

$\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ e $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Passaggio 1.15

Scomponi $\cos (2 x)$ da $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Passaggio 1.16

Frazioni separate.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Passaggio 1.17

Riscrivi $\tan (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Passaggio 1.18

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ come un prodotto.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Passaggio 1.19

Semplifica.

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Passaggio 1.19.1

Converti da $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Passaggio 1.19.2

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.20

Scomponi $\cos (2 x)$ da $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.21

Frazioni separate.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.22

Riscrivi $\sec (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.23

Riscrivi $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ come un prodotto.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.24

Semplifica.

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Passaggio 1.24.1

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.24.2

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.24.3

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.24.4

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.24.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.24.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Passaggio 1.25

Moltiplica $\sec^{2} (2 x)$ per $\sec (2 x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.25.1

Sposta $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.25.2

Moltiplica $\sec (2 x)$ per $\sec^{2} (2 x)$ .

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Passaggio 1.25.2.1

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.25.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.25.3

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.26

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.27

Moltiplica $\sec (2 x)$ per $\sec^{3} (2 x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.27.1

Moltiplica $\sec (2 x)$ per $\sec^{3} (2 x)$ .

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Passaggio 1.27.1.1

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.27.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Passaggio 1.27.2

Somma $1$ e $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \sec (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \sec (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

${u_{2}}^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{3}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$