Calcolo Esempi

$\int_{- π}^{π} \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{- π}^{π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{π} 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{- π}^{π} d x + \int_{- π}^{π} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \int_{- π}^{π} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- π)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u_{lower} = - 2 π$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 5.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2 π$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 5.6

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \int_{- 2 π}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 6

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \int_{- 2 π}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \frac{1}{2} \int_{- 2 π}^{2 π} \cos (u) d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{- π}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 2 π}^{2 π})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $x$ per $π$ e per $- π$ .

$\frac{1}{2} ((π) + π + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 2 π}^{2 π})$

Passaggio 9.2

Calcola $\sin (u)$ per $2 π$ e per $- 2 π$ .

$\frac{1}{2} ((π) + π + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (- 2 π)))$

Passaggio 9.3

Somma $π$ e $π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (- 2 π)))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- 2 π)))$

Passaggio 10.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- 2 π)))$

Passaggio 10.1.1.3

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Passaggio 10.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Passaggio 10.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Passaggio 10.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

Passaggio 10.2

Somma $2 π$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π)$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 (π))$

Passaggio 10.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 π)$

Passaggio 10.3.3

Riscrivi l'espressione.

$π$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$π$

Forma decimale:

$3.14159265 \dots$