Calcolo Esempi

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ per $1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ e $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Calcola $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ per $2 π$ e per $π$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.6.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.6.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.6.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 6.1.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

Passaggio 6.1.6.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

Passaggio 6.1.6.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

Passaggio 6.1.6.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

Passaggio 6.1.6.6

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

Passaggio 6.1.7

Somma $π$ e $0$ .

$- 2 π + 0 - π$

Passaggio 6.2

Somma $- 2 π$ e $0$ .

$- 2 π - π$

Passaggio 6.3

Sottrai $π$ da $- 2 π$ .

$- 3 π$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 3 π$

Forma decimale:

$- 9.42477796 \dots$