Calcolo Esempi

$\int x \sin (x^{2}) \cos (x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sin (x^{2})$ . Allora $d u_{2} = 2 x \cos (x^{2}) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x \cos (x^{2}) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sin (x^{2})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Passaggio 1.1.3.2

Riordina i fattori di $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x^{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin^{2} (x^{2}) + C$