Calcolo Esempi

$\int x \ln (x) x d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{1} x \ln (x) d x$

Passaggio 1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{1} x^{1} \ln (x) d x$

Passaggio 1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{1 + 1} \ln (x) d x$

Passaggio 1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int x^{2} \ln (x) d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Passaggio 5.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 5.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Passaggio 5.2.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 7.2.2

$\frac{\ln (x)}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

Passaggio 7.3

$x^{3}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$