Calcolo Esempi

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

Passaggio 1

Poiché $5.3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5.3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

Passaggio 2

Moltiplica $5.3$ per $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = w t$ . Allora $d u_{1} = w d t$ , quindi $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = w t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $w$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $w t$ rispetto a $t$ è $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$w \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $w$ per $1$ .

$w$

Passaggio 3.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{1} = w t$ .

$u_{lower} = w \cdot 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $w$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{1} = w t$ .

$u_{upper} = w \cdot 5$

Passaggio 3.5

Sposta $5$ alla sinistra di $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

Passaggio 4

$\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{w}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{w}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

Passaggio 6

$\frac{1}{w}$ e $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

Passaggio 7

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 13.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 13.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 13.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 13.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (5 w)$

Passaggio 13.5

Moltiplica $5$ per $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

Passaggio 13.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

Passaggio 13.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

Passaggio 14

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

Passaggio 15

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

Passaggio 16

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

Passaggio 17

$\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Passaggio 18

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Calcola $u_{1}$ per $5 w$ e per $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Passaggio 18.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $10 w$ e per $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

Passaggio 18.3

Somma $5 w$ e $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

Passaggio 19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

Passaggio 19.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

Passaggio 19.3

Somma $\sin (10 w)$ e $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Passaggio 20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Scomponi $26.5$ da $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Passaggio 20.2

Scomponi $2$ da $2 w$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Passaggio 20.3

Frazioni separate.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Passaggio 20.4

Dividi $26.5$ per $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Passaggio 20.5

$13.25$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Passaggio 20.6

Scomponi $\frac{13.25}{w}$ da $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ .

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.7

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.8

Scomponi $13.25$ da $13.25$ .

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.9

Frazioni separate.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.10

Dividi $1$ per $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.11

Dividi $w$ per $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.12

Moltiplica $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.12.1

$0.07547169$ e $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.12.2

$w$ e $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.13

Sposta $0.07547169$ alla sinistra di $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Passaggio 20.14

Riordina i termini.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

Passaggio 21

$\sin (10 w)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$