Calcolo Esempi

$\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y$

Passaggio 1

Poiché la derivata di $\tan (y)$ è $\sec^{2} (y)$ , l'integrale di $\sec^{2} (y)$ è $\tan (y)$ .

$\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

Passaggio 2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1

Calcola $\tan (y)$ per $\frac{π}{6}$ e per $- \frac{π}{6}$ .

$\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Passaggio 2.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.6

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Passaggio 2.3.7.1

$\sqrt{2}$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 2.3.7.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 2.3.7.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Forma decimale:

$1.63299316 \dots$