Calcolo Esempi

$\int x (1 + \sqrt{x}) d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x (1 + x^{\frac{1}{2}}) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2

Riordina $x$ e $1$ .

$\int 1 \cdot x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\int x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Passaggio 2.8

Somma $2$ e $1$ .

$\int x + x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 6

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$