Calcolo Esempi

$\int t \ln (t) d t$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (t)$ e $d v = t$ .

$\ln (t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\ln (t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

Passaggio 2.2

$\ln (t)$ e $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$t^{2}$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t} d t)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ e $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t} d t)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t^{1}} d t)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t}{1} d t)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $t$ per $1$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t)$

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t d t$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ come $\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (t)$ .

$\frac{\ln (t)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

Passaggio 6.2.2

$\frac{\ln (t)}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} t^{2} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$

Passaggio 6.3

$t^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4} + C$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$