Calcolo Esempi

$\int x \sqrt[3]{x + 10} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt[3]{x + 10}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{3}{4}$ e ${(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 2.2

$x$ e $\frac{3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Passaggio 4

Sia $u = x + 10$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x + 10$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{x (3 {(x + 10)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ come $\frac{3}{4} x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{3}{4} x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$\frac{3 x}{4} {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 6.2.2

$\frac{3 x}{4}$ e ${(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{3}{7}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{7 \cdot 4} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $7$ per $4$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 6.2.6

Per scrivere $- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{4}{4} + C$

Passaggio 6.2.7

$- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{- \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 6.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{28} u^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 6.2.9

$u^{\frac{7}{3}}$ e $\frac{9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28} \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 6.2.10

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 4 \frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}}{4} + C$

Passaggio 6.2.11

$- 4$ e $\frac{u^{\frac{7}{3}} \cdot 9}{28}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4 (u^{\frac{7}{3}} \cdot 9)}{28}}{4} + C$

Passaggio 6.2.12

Moltiplica $9$ per $- 4$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 36 u^{\frac{7}{3}}}{28}}{4} + C$

Passaggio 6.2.13

Scomponi $4$ da $- 36 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{28}}{4} + C$

Passaggio 6.2.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.14.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 (7)}}{4} + C$

Passaggio 6.2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (- 9 u^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7}}{4} + C$

Passaggio 6.2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Passaggio 6.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Passaggio 6.2.16

Per scrivere $3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Passaggio 6.2.17

$3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{7} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Passaggio 6.2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Passaggio 6.2.19

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4} + C$

Passaggio 6.2.20

Riscrivi $\frac{\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}}{4}$ come un prodotto.

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7} \cdot \frac{1}{4} + C$

Passaggio 6.2.21

Moltiplica $\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Passaggio 6.2.22

Moltiplica $7$ per $4$ .

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 u^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 10$ .

$\frac{21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 10)}^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{1}{28} (21 x {(x + 10)}^{\frac{4}{3}} - 9 {(x + 10)}^{\frac{7}{3}}) + C$