Calcolo Esempi

$\int_{0}^{4} \sin^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (x)$ come $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \cos (2 x) d x)$

Passaggio 6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 7

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{8} \cos (u) d u))$

Passaggio 9

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $x$ per $4$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

Passaggio 10.2

Calcola $\sin (u)$ per $8$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (0)))$

Passaggio 10.3

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (0)))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - 0))$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) + 0))$

Passaggio 11.3

Somma $\sin (8)$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \sin (8))$

Passaggio 11.4

$\sin (8)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{\sin (8)}{2})$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{0.98935824}{2})$

Passaggio 12.2

Dividi $0.98935824$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 0.49467912)$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 1$ per $0.49467912$ .

$\frac{1}{2} (4 - 0.49467912)$

Passaggio 12.4

Sottrai $0.49467912$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3.50532087$

Passaggio 12.5

$\frac{1}{2}$ e $3.50532087$ .

$\frac{3.50532087}{2}$

Passaggio 12.6

Dividi $3.50532087$ per $2$ .

$1.75266043$