Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Passaggio 4

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e per $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.2.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Passaggio 5.2.4

Somma $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ e $0$ .

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 6.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $2^{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 6.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Passaggio 6.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 6.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 6.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 6.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2^{1}}{2}$

Passaggio 6.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2}{2}$

Passaggio 6.5

Dividi $2$ per $2$ .

$1$