Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = π - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = π - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $π - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $0$ da $π$ .

$u_{lower} = π$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 2.5.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Passaggio 6

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{3 π}{4}$ e per $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Passaggio 7.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Passaggio 7.1.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Passaggio 7.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Passaggio 7.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Passaggio 7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{2} + 2$

Forma decimale:

$0.58578643 \dots$