Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.5.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.5.3.6.5

Calcola l'esponente.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 4

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $\sqrt{2}$ e per $1$ .

$2 ((\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{2^{1}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.1.5

Calcola l'esponente.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (1 - \frac{1^{2}}{2})$

Passaggio 5.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 5.2.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.7

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2}$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$1$