Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} u^{3} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{1}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Passaggio 3.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0$

Passaggio 3.2.6

Somma $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.25$